MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÃNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.003]

- [ $\hbar$ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ ,

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $p=\gamma m_{0}v$ / c

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $E=\hbar \omega$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}.$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad .$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $\psi ={\sqrt {\rho }}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right),$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ ${\vec {v}}({\vec {r}},t)={\frac {\nabla S({\vec {r}},t)}{m}}\;.$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

- [ $\hbar$ $-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\;,$

G { f [dd]} ´[d] $\hbar$ $\psi$

Para derivar a onda piloto de Broglie-Bohm para um elétron, o procedimento quântico de Lagrange

$L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),$

onde $Q$ é o potencial quântico relacionado com a força quântica e pode ser expresso por:

$Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}.$

Esse potencial é integrado precisamente ao longo do caminho (aquele que o elétron realmente segue). Isto conduz à seguinte fórmula para o propagador de Bohm:

$K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].$

Este propagador permite controlar o elétron precisamente ao longo do tempo sob a influência do potencial quântico.[10]

Uma segunda maneira de encontrar a onda de matéria de de Broglie para uma única partícula é dada pela equação de Schrödinger dependente do tempo:

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad .

Se expressarmos a função de onda em coordenadas polares, conforme a proposta de Erwin Madelung, temos:

$\psi ={\sqrt {\rho }}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right),$

onde $\rho$ é a densidade de probabilidade e S é a fase da onda piloto. A velocidade de Bohm pode ser encontrada substituindo a função de onda na equação de Schrödinger e obtendo a equação de continuidade: [11]

\partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0\;,

onde $v$ é a velocidade de Bohm definida por:

{\vec {v}}({\vec {r}},t)={\frac {\nabla S({\vec {r}},t)}{m}}\;.

A interpretação de Bohm assume que a partícula é guiada pela onda piloto e sua trajetória pode ser encontrada integrando a velocidade de Bohm. Em 2011, o cientista Aephraim Steinberg utilizou o experimento de fenda dupla para realizar uma medida fraca simultaneamente da posição e do momento de um fóton,[12] obtendo pela primeira vez uma prova experimental das trajetórias de Bohm.

O potencial quântico descrito anteriormente pode ser facilmente obtido pela equação de Hamilton-Jacobi:

-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\;,

Se igualarmos o potencial quântico a zero, a equação acima reduz-se ao caso de uma partícula clássica.

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